In virtù del postulato fondamentale della Meccanica Quantistica, a un sistema quanto-meccanico Sq in regime non relativistico, è univocamente associato uno spazio di Hilbert H. Un qualunque "stato" di Sq è rappresentato da un elemento ψ di H, di norma unitaria (detto "vettore di stato") contenente tutte le possibilii informazioni su Sq. L'evoluzione temporale di ψ è regolata dalla seguente equazione differenziale operatoriale:.
dove a primo membro troviamo un operatore autoaggiunto. Nel caso particolare di un sistema costituito da una particella di massa m, il predetto operatore è l'operatore hamiltoniano. Se la particella si muove in un campo di energia potenziale V(x,t), si ha
per cui la prima equazione è la celebre equazione di Schrödinger
che è un'equazione differenziale alle derivate parziali del secondo ordine rispetto alle variabili x,y,z, e del primo ordine rispetto alla variabile tempo t. Lo spazio di Hilbert associato al sistema è L²(R³). Rammentiamo che
Ovviamente tale spazio vettoriale è strutturato come spazio di Hilbert, introducendo il prodotto interno
e qundi una norma
Senza perdita di generalità, supponiamo che la particella sia vincolata all'asse x e sia ivi soggetta a un campo di forze conservativo di energia potenziale V(x), onde
L'equazione di Schrödinger si scrive
Sostienici
Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)