[¯|¯] Criterio 2 di sommabilità (utile per gli esercizi)

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Criterio 2
Sia f continua in [a,b]-{x₀}, con x₀ tale che f è ivi un infinito di ordine α rispetto all'infinito di riferimento

1. f è sommabile in [a,b] se α < 1.
2. f non è sommabile in [a,b] se α >= 1.

Dim.

Dimostriamo la prima parte del teorema. Per ipotesi

Per definizione di limite

Cioè |f(x)|/(|x-x₀|^-α) è definitivamente limitata intorno a x₀, cosicché

onde la sommabilità di f in virtù del criterio 1. Passiamo alla seconda parte del teorema.

Cioè

da cui la non sommabilità di f in U_δσ. L'asserto segue immediatamente dal criterio 3

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