Esercizio
Discutere l'integrabilità in [0,+oo) della funzione di fig. 1
Soluzione
Tale funzione è manifestamente continua ed è graficata in fig. 1, essendo
dove
Per essere più specifici, definiamo
con k=0,1,...,N-1, essendo N un intero positivo preso ad arbitrio. Riesce:
Definiamo
Se ci aiutiamo con il seguente grafico:
vediamo che
Ne consegue
A questo punto osserviamo che
Manipoliamo l'ultimo termine:
per cui
Quindi
cioè
dove
ovvero la somma parziale di ordine N della serie armonica. Come è noto, tale serie diverge
Quindi
il che equivale a scrivere
Applicando un procedimento simile a R2, si perviene a
Per quanto stabilito in questa lezione, ne concludiamo che la funzione assegnata è non-integrabile in [0,+oo).
Sostienici
Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.
No TweetBacks yet. (Be the first to Tweet this post)