La questione dell'integrabilità diviene più complicata se f non ha segno costante in X. In tal caso, conviene definire le funzioni:
entrambe non negative in X. Segue
che decompone univocamente una qualunque funzione f nelle due parti non negative f1,f2.
Evidentemente
Denotiamo con R1 e R2 i rettangoloidi generalizzati relativi a f1 e f2 e di base X:
Se R è il rettangoloide generalizzato relativo a f e di base X:
dove
cioè il simmetrico di R2 rispetto all'asse x. A titolo di esempio, consideriamo la funzione:
il cui grafico è riportato in fig. 1. Risulta
e
graficate nelle seguenti figure:
Osserviamo che passando da f(x) a f1(x) e f2(x), i punti di discontinuità possono cambiare
specie, o divenire punti di continuità per la funzione. Ad esempio, x=1 è punto di discontinuità di seconda specie per f, ma è di prima specie per f1. Il punto x=0 è di discontinuità di seconda specie per f, ma è punto di continuità per f2. Nel caso in esame, risulta
per cui
come illustrato in fig. 1. La definizione suggerisce
giacchè
in quanto fk è non negativa. Ne consegue che la definizione precedente è applicabile solo nei casi in cui almeno uno degli integrali a secondo membro è < +oo. Infatti se
la predetta formula si presenta nella forma indeterminata oo-oo, per cui diviene priva di significato. Geometricamente significa che almeno uno dei rettangoloidi R1 e R2 deve avere area finita.
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