Esercizio n.10, pag. 80 del Flaccavento
Calcolare il momento di inerzia rispetto all'asse z della curva γ di equazioni parametriche:
plottata in fig. 1
Soluzione
Dal corso di Meccanica Razionale sappiamo che il momento di inerzia di un corpo C di densità ρ(x,y,z) rispetto a un asse (o a un piano o a un punto) è:
dove D è la regione dello spazio tridimensionale occupata dal corpo, mentre r(x,y,z) è la distanza del generico punto (x,y,z)appartenente a D e l'ente geometrico (asse, piano, punto) rispetto al quale si calcola il momento d'inerzia. Per una curva materiale la funzione ρ(x,y,z) è la densità lineare, e nel caso in esame si assume tacitamente
ovvero si considera una curva omogenea di densità unitaria (nelle appropriate unità di misura). Si richiede il momento di inerzia rispetto all'asse z, onde
Segue
È facile persuadersi che l'elemento di misura diviene l'elemento d'arco ds, giacché dobbiamo integrare gli infiniti contributi provienienti da ρds. Ricordiamo che
Cioè
Quindi
Conclusione
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