Esercizio
Che tipo di scarpe (in termini di attrito statico) dovrebbe indossare un operaio per trascinare una cassa più pesante del peso dell'operaio medesimo?
Soluzione
Fissiamo innanzitutto la simbologia:
- M massa inerziale della cassa;
- m massa inerziale dell'operaio. Per ipotesi è m < M;
- µs coefficiente di attrito statico tra la cassa e il pavimento.
- µ's coefficiente di attrito statico tra le suole delle scarpe dell'operaio e il pavimento.
Ciò premesso, le forze agenti sulla cassa sono:
- F (forza applicata dall'operaio);
- P=Mg (peso della cassa);
- RN=-P (reazione vincolare normale);
- RT reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).
Il diagramma delle forze è riportato in figura:
Risulta:
Se
non si verifica il distacco della cassa. Infatti, la condizione di distacco è:
Per il terzo principio della dinamica, se l'operaio applica una forza F sulla cassa, quest'ultima applica una forza -F sull'operaio. Ne consegue che sull'operaio le forze agenti sono:
- -F (forza applicata dalla cassa);
- P'=mg (peso dell'operaio);
- R'N=-P' (reazione vincolare normale);
- R'T reazione vincolare tangenziale (forza di attrito statico).
Il diagramma delle forze è riportato in figura:
La cassa si sposta se e solo se l'operaio non si distacca dal pavimento, cioè se e solo se
Tenendo conto dell'equazione, si ha
In particolare, se il coefficiente di attrito statico tra le suole e il pavimento è lo stesso del coefficiente di attrito tra cassa e pavimento, la cassa non si sposta. Peraltro, la condizione precedente non è sufficiente per risolvere il problema, giacché dobbiamo imporre µ's < 1. Quindi
Più precisamente
Tale doppia disuguaglianza determina univocamente l'insieme dei possibili valori di M affinché sia possibile il distacco. In altri termini, per assegnati valori di m e µs, il valore di M dovrà verificare la predetta limitazione. Nel caso contrario:
Per un assegnato valore
l'insieme dei valori possibili per µ's che risolvono il problema, è:
La presenza del rapporto M/m suggerisce di definire la seguente variabile adimensionale:
Segue
Riportando su un sistema di assi cartesiani in ascissa la variabile ? e in ordinate µ's
si ha che l'insieme soluzione è
Per un assegnato
il corrispondente valore di μ's deve appartenere all'intervallo
affinché si verifichi il distacco della cassa.
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