[¯|¯] Non invarianza dell'antisimmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione

Esercizio
Sia S un insieme. Si mostri che la seguente asserzione è falsa, fornendo un controesempio ovvero un esempio, per cui la medesima asserzione non sia vera

Soluzione
Senza perdita di generalità poniamo N=2, assumendo S={1,2,3}. Per ipotesi le relazioni ρ₁ e ρ₂ sono antisimmetriche, per cui

essendo Δ la diagonale di S².
Ad esempio










Verifichiamo l'antisimmetria di singola relazione:

Eseguiamo l'operazione di unione dei grafici:

Quindi

onde

Ne concludiamo che l'operazione di unione non conserva l'antisimmetria di una relazione in un insieme assegnato.

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