[¯|¯] Invarianza della simmetria di una relazione rispetto all'unione e all'intersezione

Proposizione 1
Ipotesi
Siano ρ₁,ρ₂,...,ρ_N relazioni simmetriche in un assegnato insieme S, tali che

Tesi
L'insieme

è il grafico di una relazione simmetrica.

Dimostrazione

Preso ad arbitrio (x,y) in G(ρ):

Cioè

da cui l'asserto.

Proposizione 2
Ipotesi
Siano ρ₁,ρ₂,...,ρ_N relazioni simmetriche in un assegnato insieme S

Tesi
L'insieme

è il grafico di una relazione simmetrica.

Dimostrazione
Sia ρ:S->P(S) tale che

Preso ad arbitrio (x,y) in G(ρ):

Cioè

da cui l'asserto.

In virtù delle proposizioni appena dimostrate, si ha che le operazioni di unione e di intersezione conservano la simmetria di una relazione.

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