Definizione
Una relazione ρ in un insieme S, si dice relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Osservazione
Per quanto visto nel numero precedente, le proprietà di una relazione di equivalenza si traducono in proprietà del suo grafico. Precisamente, il grafico G(ρ) di una relazione di equivalenza è tale che
Proposizione 1
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:
Dimostrazione
Proposizione 2
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:
Dimostrazione
Implicazione diretta
Osserviamo innanzitutto che
Segue
Scomponiamo la doppia implicazione <=>
onde l'asserto.
Implicazione inversa
Per ipotesi
Per la proposizione precedente
Proposizione 3
Comunque prendiamo una relazione di equivalenza ρ in S, si ha:
Dimostrazione
Implicazione inversa>
Per ipotesi
Per una proposizione dimostrata in una lezione precedente:
onde
da cui l'asserto.
Implicazione diretta
Ipotesi
Segue
Per quanto precede, se ρ è una relazione di equivalenza in S, comunque prendiamo x in S si ha che ρ(x) è non vuoto e contiene x come elemento.
Definizione
Il sottoinsieme ρ(x) di S, si dice classe di equivalenza rispetto a ρ.
Per la proposizione 2 comunque prendiamo y in ρ(x) si ha ρ(x)=ρ(y). Cioè, le due classi di equivalenza ρ(x) e ρ(y) coincidono per ogni y in ρ(x). In altri termini, ogni elemento di una assegnata classe di equivalenza determina la medesima classe. Ne consegue che una classe di equivalenza è univocamente determinata da un suo elemento preso ad arbitrio.
In virtù della proposizione 3, se y non appartiene a ρ(x) cioè se x e y individuano due classi ρ(x) e ρ(y) distinte, necessariamente queste ultime sono disgiunte.
D'altra parte, se se y non appartiene a ρ(x) significa che x e y non sono in relazione.
Conclusione
Elementi che non sono in relazione di equivalenza tra loro, determinano classi di equivalenza disgiunte.
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