[¯|¯] La relazione di parallelismo tra rette di un piano, quale relazione in un insieme

Consideriamo l'insieme S delle rette di un piano α dello spazio euclideo tridimensionale (spazio ordinario). Sia

essendo ρ(r) l'insieme delle rette di a parallele ad r. In altri termini, ρ è la relazione di parallelismo tra rette di un piano:

La relazione inversa è:

ove

Ma ρ(r) è l'insieme delle rette parallele ad r, per cui anche ρ^-1(r') è l'insieme delle rette parallele ad r. Quindi

Proposizione (Proprietà simmetrica)

Dimostrazione

Proposizione (Proprietà riflessiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che ogni retta è parallela a sé stessa.

Proposizione (Proprietà transitiva)

Dimostrazione

Segue immediatamente dall'osservare che se r è parallela ad s, s a sua volta è parallela a t, necessariamente r è parallela a t.

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