[¯|¯] Grafico di una corrispondenza

Definizione
Comunque prendiamo gli insiemi A e B, sono univocamente determinate le seguenti applicazioni:

che si chiamano rispettivamente prima proiezione e seconda proiezione associate al prodotto cartesiano A×B. Evidentemente:

Proposizione
Le proiezioni π1 e π2 sono applicazioni suriettive.

Dimostrazione
Le immagini di A×B mediante le singole proiezioni sono rispettivamente

onde l'asserto.

Ciò premesso, sussiste la seguente definizione
Definizione
Dicesi grafico di una corrispondenza da S verso S'

l'insieme

Cioè il grafico di una corrispondenza da S verso S', è un particolare sottoinsieme di S×S'. Ci si può chiedere se sia vero il viceversa. La risposta è affermativa ed è fornita dalla seguente proposizione:
Proposizione
Un qualunque sottoinsieme F (non vuoto) di S×S', è il grafico di una corrispondenza da S verso S'

data da

Dimostrazione
Per definizione di controimmagine:

Definiamo

Segue

o ciò che è lo stesso

È quindi definita la corrispondenza

onde l'asserto.

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