Sia (x,y) un numero complesso preso ad arbitrio. Dalla definizione di addizione di numeri complessi e di moltiplicazione di numeri complessi, si trae la seguente identità:
Ne consegue che un qualunque numero complesso si esprime in uno ed un solo modo, come somma di un numero complesso del tipo (x,0) e di un numero complesso del tipo (0,y). Ciò suggerisce di definire i seguenti sottoinsiemi di C:
È facile persuadersi che la struttura algebrica di campo viene trasferita a R'. Innanzitutto osserviamo che R' è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione di elementi di R':
Inoltre
Ciò implica che R' è un sottocampo di C.
Esiste un'evidente corrispodenza biunivoca tra R' e R, cosicché possiamo identificare ogni elemento (x,0) di R' con il corrispondente elemento di R. Cioè adottiamo la convenzione:
Pertanto i numeri complessi del tipo (x,0) sono numeri reali. Ciò implica la denominazione di unità reale per (1,0)=1. Abbiamo in tal modo mostrato che il campo complesso C è un ampliamento del campo reale R.
L'insieme I, invece, non è un sottocampo di C giacché non è chiuso rispetto alla moltiplicazione di elementi dell'insieme medesimo. Infatti, ricordando la definzione di moltiplicazione:
si ha
Definizione
Gli elementi di I diconsi numeri immaginari o immaginari puri. Il numero (0,1) è l'l'unità immaginaria.
Quest'ultima denominazione deriva da
L'unità immaginaria è simboleggiata da i. Cioè
Segue
cosicché ogni numero immaginario (0,y) si esprime attraverso il prodotto dell'unità immaginaria i per il numero reale y. In tal modo la formula di decomposizione (x,y)=(x,0)+(0,y) può essere riscritta come
Abbiamo così ricavato la forma algebrica del numero complesso (x,y) che da qui in poi indicheremo con z=x+iy:
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