[¯|¯] Cicloide generalizzata

Riprendiamo l'equazione vista in un post precedente

rammentando che X₀ è il vettore colnna che definisce il centro di rotazione, mentre Y(t) rappresenta la traslazione. Nel caso della cicloide è

per cui il cerchio Σ di centro

e raggio R, rotola lungo il semiasse positivo x. Dal momento che l'equazione matriciale precedente restituisce una rappresentazione parametrica del semiasse positivo:

si ha che la più generale traslazione è

dove f(t) è un'assegnata funzione tale che f(0)=0.

Ne consegue che l'equazione data all'inizio determina il rotolamento di Σ lungo la curva γ:y=g(x), essendo g(x)=f(t(x)) con t(x)=(x/(ω₀R)). Un esempio interessante è dato da un profilo sinusoidale smorzato da un'esponenziale

dove: b>0 è una costante con le dimensioni di una lunghezza, ω>0 una costante con le dimensioni di una pulsazione, e a>0 una costante con le dimensioni dell'inverso di un tempo al quadrato. La traiettoria di un punto della frontiera di Σ è riportata nella figura seguente, da cui vediamo che dopo un breve transitorio la curva diviene una cicloide, in quanto la curva sui cui rotola Σ si identifica con l'asse x.

Sostienici