[¯|¯] Equazione della cicloide

Assegnato un riferimento cartesiano del piano (Oxy), si consideri il cerchio Σ(t), essendo t il tempo, che rotola senza strisciare lungo l'asse x (nel verso positivo). All'istante iniziale t=0 è Σ(0)=Σ₀, ove

cosicché la frontiera γ₀ di Σ₀ è la circonferenza di centro C₀(0,R) e raggio R:

Si determini l'equazione della traiettoria del punto P(t)di Σ(t) tale che P(t=0)=P₀(0,0), nell'ipotesi in cui il centro di Σ(t) compie un moto rettilineo ed uniforme.
Soluzione
Il centro C(t) di Σ(t) i.e. della circonferenza γ(t) quale frontiera di Σ(t) ha coordinate (s(t),R) dove s(t)=v₀*t con v₀ costante reale positiva, giacché per ipotesi tale punto compie un moto rettilineo ed uniforme.
Dal momento che Σ(t) rotola senza strisciare, si ha che adottando un riferimento curvilineo su γ(t) con origine nel punto (s(t),0), l'ascissa curvilinea di P(t) è data proprio da s(t), cioè dalla distanza percorsa dal predetto punto al tempo t. Il corrispondente angolo è









Il problema consiste nel determinare le coordinate cartesiane di P(t). A tale scopo fissiamo un riferimento cartesiano (C(t)ξη) solidale a Σ(t) disposto come in fig. 1. In tale riferimento le coordinate cartesiane di P(t) si scrivono

dove φ(t) è l'anomalia di P(t) contata a partire dall'asse ξ positivamente in verso antiorario, per cui

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