[¯|¯] Integrale singolare di un'equazione differenziale

Integrare l'equazione differenziale:

Soluzione
L'equazione è del tipo y'=f(y/x), per cui eseguiamo il cambio di variabile z=y/x, onde y=x*z=>y'=z+xz'. Ma y'=z+sqrt(1-z²), che sostituita nella precedente restituisce:

che è a variabili separabili. Gli integrali costanti (rispetto a z) sono gli zeri della funzione sqrt(1-z²), cioè z=±1=>y=±x. Abbiamo quindi i due integrali particolari:

Separando le variabili e integrando:

Cioè

Ripristinando la variabile y:

Si noti che

per cui gli integrali η_± sono integrali singolari. Eseguendo uno studio di funzione si stabilisce che al variare della costante di integrazione da -oo a +oo, le curve integerali sono contenute nella regione

Più precisamente, le curve oscillano logaritmicamente tra le bisettrici y=±x, quali curve integrali degli integrali singolari η_±, come vediamo dalla fig. 1.

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