[¯|¯] Baricentro di un triangolo non omogeneo

Esercizio
Denotiamo con T una lamina triangolare di vertici A(-1,0),B(1,0) e C(0,1) (cfr. fig.1 ). Determinare il baricentro di T sapendo che la densità superficiale è una funzione continua ρ(x,y). Esplicitare il risultato nel caso in cui la densità aumenta esponenzialmente con l'ordinata:

Discutere i limiti per λ->0 e λ->+oo.
Soluzione
Da note formule:

essendo M la massa della lamina:

Nel caso in esame la densità dipende solo da y. Per una questione di simmetria segue x_G=0, cioè il baricentro è sull'asse y. Calcoliamone l'ordinata, osservando che il dominio T è normale rispetto all'asse y:

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