Consideriamo una particella di massa m che si muove in una regione sede di un campo di forze posizionali di energia potenziale V(x). L'energia meccanica della particella si scrive:
Per l'ipotesi di De Broglie possiamo associare a tale particella l'onda piana monocromatica:
soluzione dell'equazione di Schrödinger:
In questo post abbiamo visto che Scrödinger interpretò |ψ(x,t)|² alla stregua di una grandezza proporzionale alla densità di carica elettrica associata alla particella. Ad esempio nel caso dell'atomo di idrogeno, l'elettrone risulterebbe "distribuito" nell'atomo proprio come un'onda. Ciò è in accordo con l'ipotesi di De Broglie secondo la quale il moto dell'elettrone equivale alla propagazione di un'onda. Nella concezione di Schrödinger - De Broglie, l'onda è l'ente fisico fondamentale, mentre l'aspetto corpuscolare è un epifenomeno. Si parla, dunque, di onde materiali.
Abbiamo poi visto che nel 1926 Born congetturò |ψ(x,t)|²=densità di probabilità di trovare l'elettrone in un dato punto dello spazio e in un assegnato istante di tempo. Per giustificare tale congettura Born paragonò l'onda di di materia all'onda d'urto generata dall'esplosione di una bomba. In un piano orizzontale contenente il punto di esplosione, fissiamo un sistema di riferimento polare (r,θ) con polo nel predetto punto. In presenza di una distribuzione isotropa dell'energia generata dall'esplosione, si ha che la funzione che descrive la propagazione dell'onda d'urto è ψ(r,t), cioè indipendente dall'angolo ? in virtù dell'isotropia. Inoltre, ψ(r,t) decresce all'aumentare di r. Più precisamente: