[¯|¯] Oscillazioni smorzate con legge esponenziale. Decremento logaritmico

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Caso oscillatorio smorzato (b < b_crit)

Prima di affrontare il caso n. 3 (oscillazioni smorzate), sintetizziamo i risultati raggiunti , in modo da comprendere la fisica che c'è dietro questo problema matematico. Innanzitutto riscriviamo l'equazione differenziale del moto nella forma:

Ricordiamo che τ=(2m)/b è la costante di tempo della resistenza passiva, quindi delle forze di attrito. Abbiamo poi introdotto una nuova grandezza avente le dimensioni di un tempo:

legata al periodo T₀ delle oscillazioni armoniche in assenza di attrito, dalla relazione:

In altri termini, la grandezza τ₀ fissa la scala dei tempi delle oscillazioni caratteristiche del sistema. Ne consegue che le condizioni di aperiodicità e di criticità si riscrivono:

τ0 significa che le forze di attrito sono più "efficienti" della forza elastica, giacché hanno una scala dei tempi minore. Per τ=τ₀ si ha, invece, un equilibrio che da luogo al caso "critico" in cui il moto non è ancora oscillante.

È facile allora immaginare che la condizione

determina un moto oscillatorio, comunque smorzato dalle forze di attrito. Abbiamo poi la condizione estrema:

Cioè per grandi valori di τ (rispetto a τ₀), quindi per piccoli valori del coefficiente di viscosità b, le soluzioni dell'equazione differenziale del moto si comportano come quelle dell'equazione

per cui si ha un'oscillazione armonica di pulsazione ω₀=τ₀^-1. Nel limite opposto:

Cioè per piccoli valori di τ (rispetto a τ₀), il moto è completamente dominato dalle forze di attrito.
Ciò premesso, consideriamo il caso

Con tale condizione l'equazione caratteristica ammette due radici complesse coniugate:

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Osservazione. In questo lavoro utilizziamo il simbolo j per denotare l"unità immaginaria. Rammentiamo che tale convenzione è d'uso in Elettrotecnica ed in Elettronica per non creare confusione con il simbolo i che denota l'intensità di corrente.

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Riscriviamo

essendo:

una grandezza con le dimensioni di una pulsazione. Risulta:

Cioè in assenza di attrito, ω è la pulsazione caratteristica. Un sistema fondamentale di integrali dell'equazione differenziale assegnata è

Pertanto l'integrale generale si scrive

dove K1,K2 sono costanti arbitrarie. Sviluppando gli esponenziali complessi utilizzando la nota formula di Eulero, si ottiene:

cosicché:

Cioè

avendo definito le nuove costanti di integrazione:

Derivando la x(t):

Le condizioni iniziali

implicano

che sostituite nell'integrale generale:

Per studiare l'andamento della funzione x(t) è conveniente scrivere la sua espressione nel seguente modo:

dove A0>0 ha le dimensioni di una lunghezza, mentre φ è la fase iniziale. Deve essere:

Sviluppando il coseno che compare a primo membro con le formule di addizione degli archi, si ha:

Riesce:

Cioè

Dal momento che

si ha per il teorema dei carabinieri:

segue poi che il grafico di x(t) è inviluppato dalle curve esponenziali ±A₀e^-t/τ. La funzione x(t) presenta un numero infinito numerabile di massimi relativi nei punti t_k tali che

da cui

Quindi

Per un assegnato k, il massimo relativo successivo è

essendo

Abbiamo

ovvero

Passando ai logaritmi:

Poniamo

che non è il periodo di x(t) in quanto non periodica, bensì il tempo necessario affinchè l'ascissa dell'oscillatore passi dal valore x(t_k) al valore x(t_k+1)k). Quindi:

ed è pertanto una costante caratteristica dell'oscillatore, che si chiama decremento logaritmico. In figura riportiamo un tipico andamento: