Fig. 1. Evoluzione nello spazio delle configurazioni dello stato meccanico di un oscillatore criticamente smorzato, per differenti valori della posizione iniziale.
Caso critico (b=bcrit)
L'equazione caratteristica ha una sola radice reale:
per cui un sistema di integrali fondamentali è
Pertanto l'integrale generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico smorzato si scrive:
Derivando otteniamo la velocità
Imponendo le condizioni iniziali
si perviene al sistema:
da cui
Quindi l'integrale particolare che ci interessa è:
e la velocità
Assumendo una velocità iniziale nulla le equazioni precedenti si scrivono:
A differenza del caso aperiodico dove intervenivano due costanti di tempo τ1,τ2, la scala dei tempi del transitorio è fissata dall'unica costante di tempo τ=(2m)/b:
A rigore:
Osserviamo che la costante di tempo è ora legata alla pulsazione caratteristica dall'evidente relazione:
Ad esempio, per ω0=20rad/s otteniamo per l'ascissa x(t) l'andamento riportato in figura:
in fig. 1 (top di questa pagina) è plottato il diagramma delle orbite.
Ne concludiamo che anche nel caso criticamente smorzato, il punto materiale non compie oscillazioni e l'ascissa dopo un transitorio di durata τ, l'ascissa si annulla.
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