Fig. Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0=0.6 rad/s. sottoposto a una forza esterna di pulsazione Ω=0.29 rad/s.
L'evoluzione dinamica di un sistema meccanico composto da un punto materiale che si muove lungo una retta (asse x) può essere studiata in due paradigmi diversi:
- Evoluzione nel dominio del tempo.
- Evoluzione nel dominio delle configurazioni.
Nel primo paradigma, una volta determinata l'equazione oraria x=x(t), e quindi la derivata rispetto al tempo di x(t), si traccia il grafico delle funzioni x(t) e della derivata prima.
Nel secondo approccio, invece, l'evoluzione dinamica viene rappresentata in uno spazio astratto 2-dimensionale denominato spazio delle configurazioni. Per poter definire tale ente geometrico, iniziamo con l'osservare che l'equazione differenziale del moto derivante dal secondo principio della dinamica si scrive:
dove
essendo m la massa del punto materiale e F la forza applicata. L'equazione differenziale appena scritta è del secondo ordine ed è equivalente a un sistema di equazioni differenziali del primo ordine. Infatti, se in tale equazione differenziale eseguiamo il cambio di variabili:
si ha:
Quindi
che è un sistema di equazioni differenziali del primo ordine nelle funzioni incognite ξ(t),η(t). La totalità delle coppie ordinate
che soddisfano il sistema di equazioni differenziali appartengono allo spazio euclideo R² cartesianamente rappresentabile da un sistema di assi coordinati x e v. Abbiamo così definito lo spazio delle configurazioni del sistema meccanico assegnato, la cui evoluzione dinamica è geometricamente rappresentata dal moto del punto (x,v) lungo una curva Γ che definisce la regione dello spazio delle configurazioni accessibile al sistema, ed è nota come orbita del sistema medesimo. Una rappresentazione parametrica di Γ è
ove la funzione x(t) è l'unica soluzione del problema di Cauchy:
La coppia ordinata
definisce lo stato del sistema meccanico. Il teorema di esistenza ed unicità delle soluzioni del predetto problema di Cauchy implica il determinismo fisico: lo stato meccanico a tutti i tempi è univocamente determinato dallo stato meccanico iniziale e dalla forza agente sul punto materiale.
Nel caso particolare delle oscillazioni libere di un oscillatore armonico ideale, abbiamo visto che l'equazione oraria è
La velocità scalare è
da cui otteniamo le equazioni parametriche dell'orbita:
In questo caso è possibile eliminare il parametro t, ottenendo la rappresentazione ordinaria dell'orbita:
ovvero un'ellisse di semiassi a=A,b=ω0A, come illustrato in fig. 1.
Fig. 1.
Passiamo ora al caso delle oscillazioni forzate. Ricordiamo che se l'oscillatore è inizialmente a riposo nella posizione di equilibrio ed è soggetto a una forza
l'equazione oraria è
da cui ricaviamo immediatamente la rappresentazione parametrica dell'orbita:
il cui andamento dipende dalla frequenza Ω della forza esterna. Nel caso speciale Ω=0, cioè forza costante, si ottiene un ellisse del tipo mostrata in fig. 2
Fig. 2.
Al crescere di Ω l'ellisse subisce delle traslazioni lungo l'asse delle ascisse fino a sdoppiarsi, per poi separarsi. Più precisamente:
Fig. 3. Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0=0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω=5×10^-3 rad/s nell'intervallo di tempo [0,100 s].
Fig. 4. Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0=0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω=5×10^-3 rad/s nell'intervallo di tempo [0,200 s].
Fig. 3. Orbita di un oscillatore armonico di pulsazione ω0=0.6 rad/s e pulsazione della forza esterna Ω=5×10^-3 rad/s nell'intervallo di tempo [0,300 s].
Al crescere di Ω l'orbita diviene più complessa. Ad esempio per Ω=0.59 rad/s (con ω0=0.6 rad/s) si ha il grafico di si verifica il fenomeno dei battimenti la cui orbita è in fig. 4 (top di questa pagina).
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