[¯|¯] Battimenti generalizzati a una qualunque coppia di funzioni periodiche

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In questo post tenteremo di generalizzare il fenomeno dei battimenti a una coppia di funzioni periodiche non sinusoidali. A tale scopo riassumiamo i risultati raggiunti.

Abbiamo visto che comunque prendiamo due funzioni sinusoidali

una qualunque combinazione lineare

è un battimento se è verificata la condizione

Senza perdita di generalità

avendo applicato le formule di prostaferesi, per poi definire le nuove frequenze:

Segue

dove

è un inviluppo di modulazione se è verificata la condizione

cioè se

Supponiamo ora che f₁(x) e f₂(x) non siano funzioni sinusoidali, ma comunque periodiche e denotiamo con T₁ e T₂ i rispettivi periodi. Se tali funzioni verificano le condizioni di Dirichlet, possiamo scrivere i singoli sviluppi in serie di Fourier:

I coefficienti a_k,b_k sono dati da:

Per f2(x):

con formule simili per i coefficienti di Fourier a'_k,b'_k. Ricordiamo che la somma f1(x)+f2(x) è una funzione periodica se e solo se i periodi hanno in comune un multiplo minimo. Diversamente, non ha senso parlare di serie di Fourier associata alla funzione f1(x)+f2(x). In ogni caso proviamo a troncare entrambi gli sviluppi a un conveniente ordine di approssimazione N, per poi sommarli:

Vediamo quindi che i termini delle sommatorie danno luogo a battimenti se ω₁~ω2. A titolo di esempio, consideriamo una funzione del tipo "dente di sega"

e un'altra del tipo "onda quadra":

plottate in figura:

Si noti che tali funzioni sono periodiche con periodi leggermente diversi. La loro somma è plottata in fig.

Lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a onda quadra, troncato al termine del quint'ordine è:

mentre lo sviluppo in serie di Fourier della funzione a denta di sega, troncato al termine del quint'ordine è:

La loro somma è plottata in fig. 1 (al top di questa pagina).