Sicuramente un campo di forze del genere non esiste in natura, in quanto il modulo della forza posizionale F(x) ha derivata prima divergente in x=0. Vale comunque la pena esaminare la questione dal punto di vista astratto. Per semplicità esprimiamo tutto in unità adimensionali.
Una particella di massa m=1 si muove lungo l'asse x in un campo di forze di energia potenziale:
All'istante t=0 la particella è ferma nell'origine, per cui le condizioni iniziali sono:
La forza agente sulla particella è
Per la seconda legge di Newton
da cui il problema di Cauchy
La funzione F(x) non è lipschitziana, giacché
Ciò implica che il predetto problema di Cauchy potrebbe avere più soluzioni. E infatti vediamo che ammette due soluzioni:
La prima soluzione implica che la particella rimane in quiete nell'origine pur essendo sottoposta a una forza. La seconda soluzione, invece, implica che la particella si sposta nella direzione positiva dell'asse x con accelerazione linearmente crescente nel tempo.
In ogni caso la particella conserva l'energia meccanica, in quanto soggetta a una forza conservativa. Quindi:
Il valore della costante si calcola dalle condizioni iniziali:s
che definisce la regione classicamente accessibile:s
In fig. 1 riportiamo i due diagrammi orari.
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