Generalizziamo le nozioni esposte nel post precedente.
Assegnato l'intervallo [a,b] quale sottoinsieme di R, poniamo
Come è noto, C([a,b]) assume la struttura di spazio vettoriale su R, introducendo le usuali leggi di composizione:
e relativi assiomi. Tale spazio vettoriale può essere strutturato come spazio euclideo introducendo la forma bilineare:
che verifica gli assiomi di prodotto interno (o prodotto scalare). È facile persuadersi che tali assiomi sono automaticamente verificati dalla seguente forma:
D'altra parte tale definizione è ben posta, giacché la continuità delle funzioni f e g garantisce l'esistenza dell'integrale definito che compare a secondo membro. Si osservi che tale forma definisce il prodotto scalare standard, in quanto è la naturale generalizzazione al continuno del prodotto scalare standard di uno spazio euclideo n-dimensionale
poiché la variabile discreta k viene rimpiazzata dalla variabile continua x. L'introduzione del prodotto scalare ci permette di definire ortogonalità e lunghezza (norma) degli elementi di C([a,b]):
Come è ben noto dall'analisi funzionale, per definire una metrica (i.e. funzione distanza) non è necessario introdurre un prodotto scalare. È però sufficiente; infatti è facile convincersi che la grandezza
verifica gli assiomi della funzione distanza. Per inciso, ancora una volta siamo in presenza di una generalizzazione al continuo. Infatti, in uno spazio euclideo n-dimensionale, la distanza tra due punti la cui posizione è definita dai vettori:
è
che ammette l'ovvia generalizzazione al continuo:
Ciò premesso, la disuguaglianza di Schwartz lega il valore assoluto del prodotto scalare di due vettori alle rispettive norme. Sussiste infatti il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema (Disuguaglianza di Schwartz)
In particolare
La seconda parte del teorema è interessante, nel senso che vale l'uguaglianza solo se uno dei due vettori è il vettore nullo, oppure nel caso di parallelismo di f e g. Consideriamo ora la media integrale di f in [a,b]:
che chiamiamo semplicemente valore medio di f. Per il teorema della media:
Definizione 1
Chiamiamo valore efficace di f in [a,b] il numero reale non negativo
Da tale definizione si ha la seguente relazione
Cioè il quadrato del valore efficace di f è il valor medio di f². Tali grandezze si esprimono attraverso il prodotto scalare, poichè
Quindi
che ci consentono di dimostrare il seguente corollario:
Corollario
Dimostrazione
Per la disuguaglianza di Schwartz
che elevata al quadrato porge
Ma
per cui
Per quanto precede
onde l'asserto.
c.d.d.
Ne concludiamo che il valor medio coincide con il valore efficace se e solo se la funzione è costante.
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