[¯|¯] Appunti di Analisi Funzionale

venerdì, Marzo 31st, 2017

analisi funzionale,topologia,spazi metrici,spazi di Hilbert

Ebook di Analisi Funzionale liberamente scaricabile

Questi appunti di Analisi Funzionale sono incompleti, pur avendo trattato i principali argomenti (vedi l'indice più sotto). Il file pdf consta di ben 120 pagine. Come sempre, ringrazio sin da ora chi segnalerà imperfezioni, errori, etc.

Ecco l'indice

Parte 1. Topologia generale
Capitoli:

Topologia generale in Rⁿ
- Intorno di un punto
- Punti interni. Punti esterni. Punti di frontiera
Spazi topologici
- Definizione assiomatica
- Punti interni. Intorno di un punto. Punti di frontiera
- Base di uno spazio topologico
- Sottospazio topologico
- Punti di accumulazione. Punti isolati. Punti di aderenza
- Spazi di Hausdorff
- Spazio connesso
- Spazio compatto. Spazio precompatto
- Spazi separabili
- Successioni convergenti
- Funzioni convergenti
- Spazi topologici notevoli

(altro…)

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[¯|¯] Funzione dissipativa e potenza dissipata istantanea

sabato, Marzo 4th, 2017

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Nel post precedente abbiamo introdotto la nozione di valore efficace di una funzione continua. Procediamo ora con la seguente definizione:
Definizione 1
Comunque prendiamo un elemento f dello spazio funzionale C([a,b]), chiamiamo funzione dissipativa associata a f l'elemento di C([a,b]) dato da

essendo ß un numero reale positivo assegnato.
Definizione 2
La potenza istantanea dissipata dalla R_f(x) è

Da ciò segue che il valor medio di W_f(x) è:
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Cioè

Per esplicitare il significato di tali locuzioni consideriamo il seguente esempio tratto dalla meccanica classica: una particella di massa m si muove lungo l'asse x in un campo di forze F(x) e sotto l'azione di una forza viscosa, come illustrato in figura:

In regime lineare
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dove b>0 e v è il vettore velocità. Per la seconda legge di Newton:
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essendo i il versore dell'asse x. Proiettando tale equazione vettoriale sull'asse x, otteniamo l'equazione scalare:

Cioè

avendo definito il coefficiente di smorzamento per unità di massa:

Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale lineare del primo ordine in v(t). Per F=0 tale equazione è omogenea, per cui abbiamo il seguente problema di Cauchy:

la cui unica soluzione è

dove

è una costante di tempo. Precisamente:

L'energia meccanica della particella si riduce al solo termine cinetico, giacché stiamo considerando F(x)=0. Quindi
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Tale risultato è consistente, perché l'energia cinetica iniziale

viene dissipata dalla forza viscosa tramite un fattore di smorzamento esponenziale. L'energia dissipata per unità di tempo i.e. la potenza dissipata è