[¯|¯] Le forme indeterminate 0⁰, 1^oo, oo⁰

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In un post precedente abbiamo dato il via a una serie di lezioni sui limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche, calcolando alcuni limiti che si presentano spesso negli esercizi d'esame di Analisi Matematica 1. Nella lezione odierna dimostreremo un importante teorema che tra l'altro, giustifica un artificio utilizzato nella predetta lezione per il calcolo di limiti di funzioni esponenziali.
Ciò premesso, consideriamo una funzione f:X->R la cui espressione analitica è:

essendo φ e ψ funzioni reali.
Teorema

Se x₀ è punto di accumulazione per X e risulta:

allora:


Dimostrazione
Scriviamo:

cosicchè:

Per un noto teorema (limite del prodotto di funzioni):

Cioè

c.d.d.

Osserviamo che φ(x)^ψ(x) si presenta in una forma indeterminata quando il prodotto ψ(x)lnφ(x) si presenta nella forma indeterminata 0·oo. Ciò accade in tre casi distinti:

1. Forma indeterminata 0⁰:
   
2. Forma indeterminata 1^oo:
   
3. Forma indeterminata oo⁰: