[¯|¯] Esercizio sulle funzioni monotone

Studiare la monotonia delle funzioni:

1)

2)

3)

Tenendo conto del grafico della funzione riportato in fig. 1 e della definizione di
funzione monotona, vediamo che non è monotona in , ma lo è localmente. Infatti, posto e , si ha che è strettamente crescente e è strettamente decrescente. Ne concludiamo che è strettamente crescente in e strettamente decrescente in .

Dal grafico di vediamo che tale funzione è crescente nel suo insieme di definizione. Quindi la funzione parte intera di è monotona (ma non in senso stretto).

3) . Anche qui è .
Si ottiene facilmente:
\begin{align}
n & =1\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 0,1\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x\\
x\in\left( -1,0\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x
\end{array}
\right. \\
n & =2\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 1,2\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x-1\\
x\in\left( -2,-1\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x+1
\end{array}
\right. \nonumber\\
n & =3\Longrightarrow\left\{
\begin{array}
[c]{l}%
x\in\left[ 2,3\right) \Longrightarrow f\left( x\right) =x-2\\
x\in\left( -3,-2\right] \Longrightarrow f\left( x\right) =x+2
\end{array}
\right. \nonumber\\
& ...\nonumber
\end{align}

Inoltre , dove:

Abbiamo, cioè, una partizione di , e è strettamente crescente in ogni , \ . Ne concludiamo che la funzione proposta è strettamente crescente a tratti.

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