Dalla disuguaglianza di Schwartz alla relazione di indeterminazione

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Abbiamo visto

dove f,g sono continue in [a,b], nota come disuguaglianza di Schwarz. In realtà, questo è un caso particolare giacché stiamo considerando funzioni da [a,b] a R. Più in generale, denotiamo con C°([a,b]) l'insieme delle funzioni continue in [a,b] e a valori in C. Come è noto, tale insieme può essere strutturato come spazio vettoriale sul campo complesso. Introducendo poi il prodotto scalare

il predetto spazio assume la struttura di spazio di Hilbert. E quindi la nozione di norma:

In tale formalismo la disuguaglianza di Schwartz assume la forma più compatta:

valida ovviamente anche nel campo reale (qui abbiamo uno spazio euclideo (infinito dimensionale) anziché uno spazio di Hilbert).

Passiamo ora all'algebra dei ket

essendo . Quindi

Per dimostrare la disuguaglianza di Schwartz, costruiamo una arbitraria combinazione lineare:

Segue

In virtù dell'arbitrarietà di λ

cioè l'asserto.

Ciò premesso, consideriamo una osservabile quantistica A relativa a un assegnato sistema quantistico rappresentato da uno spazio di Hilbert H. A sua volta tale osservabile sarà rappresentata da un operatore hermitiano che indichiamo con lo stesso simbolo. Il valore di aspettazione di A in un generico stato quantistico |ψ> di H è

Definiamo l'operatore hermitiano

Quindi calcoliamo il valore di aspettazione

noto come dispersione dell'osservabile A nel predetto stato. Sviluppando il quadrato e dopo semplici calcoli:

Lemma
Il valore di aspettazione di un operatore hermitiano è puramente reale. Il valore di aspettazione di un operatore anti-hermitiano è puramente immaginario.

Dim.

Siano A e C due operatori, il primo hermitiano e l'altro anti-hermitiano. Rammentiamo la definizione di operatore aggiunto:

Se A è hermitiano:

Segue

Se C è anti-hermitiano:

Terema (i>Relazione di indeterminazione)

dove [A,B] è il commutatore:

Dim.

Definiamo i ket

Tenendo conto del carattere hermitiano degli operatori ΔA,ΔB, i bra duali sono:

Segue

dove nell'ultimo passaggio abbiamo tenuto conto della disuguaglianza di Schwarz. Dunque

Il prodotto a secondo membro si decompone:

essendo

l'anticommutatore. È facile convincersi che il commutatore è un operatore anti-hermitiano, mentre l'anticommutatore è hermitiano. Quindi per il lemma precedente:

Segue

da cui l'asserto.