Esercizio
Studiare la serie di funzioni:
Soluzione
Il termine generico della serie è la funzione
manifestamente periodica di periodo
per cui limitiamoci all'intervallo di periodicità [-2-kπ,-kπ]. Dalle considerazioni dell'esercizio precedente, segue che l'andamento del grafico di tale funzione, riportato in fig.
Per avere un'idea più chiara, in figura plottiamo le prime due funzioni cioè per k=0,1.
Per k=0,1,2 otteniamo gli andamenti di fig.
Infine, per k=0,1,...,10 otteniamo una struttura ancora più complessa
Analiticamente, osserviamo che la successione {Tk}} è infinitesima:
Ne segue che tale è la successione di funzioni {fk}(x)}, per cui ci aspettiamo una convergenza della serie proposta. La somma parziale di ordine n è
che è manifestamente periodica di periodo 2π. In fig. gli andamenti per n=0,...,5.
Per n=50 riportiamo l'andamento della somma parziale in fig.
mentre in fig. il medesimo andamento in [-6π,6π].
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