Integrazione di un'equazione differenziale del primo ordine, per separazione di variabili

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Esercizio
Dopo aver trovato l'integrale generale dell'equazione differenziale riportata in fig. 1, determinare l'integrale particolare tale che y(-1)=2.

Prima di separare le variabili, determiniamo gli eventuali integrali costanti. Deve essere y=0 per cui la funzione identicamente nulla è un integrale particolare che però non risolve il problema dato, cioè y(-1)=2. Segue

Poniamo

per cui

Cioè

che è una famiglia di iperboli equilatere. Si noti che per c=0 ritroviamo la soluzione y=0 precedentemente ricavata. in fig. 1 riportiamo alcune curve integrali dell'equazione assegnata.

Per rispondere al secondo quesito, dobbiamo imporre nell'integrale generale

Quindi l'integrale particolare richiesto è y=-2/x.