Consideriamo in X (sottoinsieme di R) la serie di funzioni
tali che per un assegnato punto di accumulazione x0 (al finito o all'infinito) per X, riesca:
Se la predetta serie è convergente in X e ha somma f(x), ci si può porre le seguenti questioni:
o ciò che è lo stesso
Cioè se è lecito commutare l'operatore limite con l'operatore "somma infinita". Verifichiamo con un paio di esempi. Siano date le funzioni
La somma parziale di ordine N è:
Ciò implica
Ne consegue che la serie converge in [0,1):
come mostrato nel grafico di fig. 1 ove riportiamo l'andamento di alcune somme parziali. Risulta inoltre:
da cui la non convergenza della serie numerica
in quanto indeterminata. D'altra parte:
per cui questo esempio mostra quanto asserito in precedenza. Se poi prendiamo l'esempio della lezione precedente, si ha:
Ma
per cui la serie dei limiti non converge al limite della somma della serie di funzioni.
Da questi esempi non possiamo fare a meno di pensare alla uniforme convergenza, giacché le serie appena considerate non sono uniformemente convergenti. Infatti, sussiste il seguente teorema (di cui omettiamo la dimostrazione) che esprime una condizione sufficiente (ma non necessaria) affinché la serie dei limiti converga al limite della serie delle funzioni.
Teorema del limite
Se Σnfn(x) è uniformemente convergente in X con somma f(x), e se x0 è un punto di accumulazione (al finito o all'ìnfinito) per X, e se
allora
Analoga questione per la continuità espressa dal seguente teorema
Teorema della continuità
Se Σnfn(x) è uniformemente convergente in X con somma f(x), e se in X le funzioni fn(x) sono continue, allora la predetta somma è ivi continua.