Sia f(z) una funzione olomorfa in un campo connesso A, e sia D un dominio regolare tale che la sua frontiera sia contenuta in A.
Definizione
Se f(z) è priva di zeri sulla frontiera di D, ha senso il seguente integrale
Senza perdita di generalità, supponiamo che f(z) sia olomorfa nell'interno del dominio D ad eccezione di un numero finito q >= 0 di singolarità polari. Ciò implica che in D cade necessariamente un numero finito p >=0 zeri di f(z). Diversamente, l'insieme HD degli zeri di f(z) in D, avrebbe un punto di accumulazione ρ non appartenente al predetto insieme e che è una singolarità non polare per f. Si pensi ad esempio, alla funzione sin(1/z) in cui l'insieme degli zeri è
che ha z=0 come punto di accumulazione, ma tale punto non è un elemento di H, e la funzione ha ivi una singolarità non polare. Ma ciò è assurdo perché ρ non appartiene all'interno di D (dove esistono al più singolarità polari) e non appartiene nemmeno alla frontiera di D che per ipotesi è costituita da punti di olomorfia di f(z). Ciò premesso sussiste il teorema scritto in fig. 1, di cui omettiamo la dimostrazione.