Tangenti a tre cerchi, considerati due a due, da tre punti allineati

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Esercizi di Geometria elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Esercizio

Dimostrare che i punti P,Q,R sono allineati (fig. 1).

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Soluzione
Cerchi di centro A e B. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli RAD e RBE. Ne segue:

Cerchi di centro B e C. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli PBL e PCM. Ne segue:

Cerchi di centro C e A. Si trova che

da cui la similitudine dei triangoli QAH e QCK. Ne segue:

Moltiplicando ambo i membri delle proporzioni appena ricavate, si ottiene:

ma poiché AH=AD, CK=CM,BL=BE si ha:

da cui l'asserto in virtù del teorema di Menelao.