La funzione di Riemann-Siegel-Hardy e il fenomeno di Lehmer

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La funzione di Riemann-Siegel-Hardy è così definita:

ed è una funzione reale per t reale. Inoltre:

per cui ha un andamento più regolare di |ζ((1/2)+it)| come vedremo a breve. Inoltre, Z(t) ha gli stessi zera della funzione ζ calcolata lungo la linea critica. Ciò può essere visto graficamente nelle figure seguenti.

Più precisamente, se t_n è la parte immaginaria di uno zero della ζ vediamo che il grafico di |ζ((1/2)+it)| ha un punto angoloso in (0,t_n). Di contro, tale punto non è angoloso per il grafico della Z(t). Inoltre, comunque prendiamo una coppia di zeri successivi, esiste necessariamente tra essi un punto critico per Z(t). Come è noto, il fenomeno di Lehmer rappresenta quasi un controesempio per l'ipotesi di Riemann, come vediamo dai ultimi due grafici di fig. 1.