Prolungamento analitico della funzione zeta di Riemann (parte prima)

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ssumendo s=σ+it variabile complessa, la serie

converge uniformemente per Re(s)>1, per cui definisce in tale regione una funzione olomorfa. Per prolungare tale funzione su tutto il piano complesso, partiamo dal risultato stabilito in precedenza nel campo reale:

da cui segue la rappresentazione integrale di ζ(s) per s appartente al campo complesso C:

Scriviamo

ove il primo integrale a secondo membro può essere risolto per serie:

Sviluppando il secondo termine dell'intgrando in serie di potenze:

Segue

Finalmente

da cui vediamo due singolarità s=0 e s=1. La prima è rimovibile perché la reciproca della funzione gamma ha ivi uno zero (ricordiamo che la funzione gamma ha poli semplici in s=-n (per n=0,+1,+2,...)). La seconda, invece, non si cancella. Ed appare chiaro che si tratta di un polo semplice.
In fig. 1 riportiamo l'andamento di alcune curve di livello della funzione ?(s).