Esercizio
Una molla di costante elastica k, senza massa e non in tensione, ha una lunghezza l0. Essa è appesa a un'estremità, all'altra estremità è fissato un corpo di massa m (fig: 1). Il moto avviene solo nel piano verticale con accelerazione di gravità g.
a)Si scriva la lagrangiana.
b) Posto r0 la lunghezza a riposo della molla ma provvista della massa m, scrivere le equazioni di Lagrange usando le variabili θ e λ=r-r/r0.
c) Discutere l'approssimazione più bassa per le variabili del moto quando θ e λ sono piccoli e al tempo t=0 si abbia
d)In quali condizioni si manifesterà la risonanza del moto? E ciò potrebbe essere fisicamente realizzabile?
Soluzione
Quesito a
In coordinate polari (r,θ) la velocità è
e quindi l'energia cinetica:
L'energia potenziale di gravità e di deformazione elastica:
La lagrangiana:
Quesito b
Calcoliamo le 4 derivate parziali
da cui l'equazioni di Eulero-Lagrange:
La lunghezza a riposo della molla di massa m e agganciata a distanza r0 è data dalla legge di Hooke:
Così se
abbiamo
e le equazioni del moto nelle variabili λ e θ diventano:
Posto
si ha
Quesito c
Quando le λ e θ sono piccole possiamo trascurare le quantità di secondo ordine in
e le equazioni del moto si riducono a
che rappresentano l'approssimazione di calcolo più bassa. Per le condizioni iniziali troviamo
dunque oscillazioni che differiscono nella loro fase di π/2.
Quesito d
Se volessimo considerare anche i termini del secondo ordine le equazioni diventano
Sostituendo nella prima equazione i suddetti λ e θ si ha
Così λ entra in risonanza se
Questo comunque è improbabile che si realizzi fisicamente perché come l'ampiezza di ? aumenta verso la risonanza l'approssimazione di ordine più basso non regge più e gli effetti di ordine superiore si manifesteranno. Inoltre proprietà non lineari della molla entreranno in gioco, invalidando il modello di calcolo originale semplificato.