Fissiamo una terna di assi cartesiani Oxyz con origine nella sorgente di ultrasuoni (array di N capsule piezoelettriche) come in fig. 1. Il campo di ultrasuoni generato dalla singola capsula è
dove
Il campo risultante è
La fase di pilotaggio φn è tale che
dove Ylm(θ,φ) sono le armoniche sferiche. In tal modo abbiamo una propagazione del tipo onda sferica.
Il trasmettitore può essere poi accoppiato a un sensore che individui la direzione di arrivo di un gabbiano e gli punti contro gli ultrasuoni. Il sensore è a sua volta ad ultrasuoni (si pensi al SONAR). Un generico pacchetto d'onde colpisce il bersaglio B per essere riflesso verso O, e supponiamo che quest'ultimo sia equipaggiato con un sistema di ricezione in grado di rivelare il segnale riflesso. Facciamo ora la seguente ipotesi semplificativa:
La propagazione del segnale riflesso avviene per onde sferiche. Più precisamente, avviene isotropicamente nel semispazio di appartenenza dell'onda incidente.
A questo punto, cerchiamo di eseguire una stima della sensibilità dell'apparato ricevente, in modo da poter determinare la massima portata del device. Denotiamo con E1 l'energia dell'onda incidente, e con E2 l'energia dell'onda riflessa nell'istante in cui interagisce con l'apparato ricevitore. A causa dell'attenuazione, ci aspettiamo che
Abbiamo
essendo ε un parametro adimensionale che definisce il minimo valore dell'energia che può essere misurato.
Poniamo
onde
Viceversa, se risulta:
l'impulso riflesso non viene osservato. Il numero reale positivo µ (adimensionale) si chiama sensibilità del ricevitore. Se S è la superficie del ricevitore, dal momento che la propagazione dei pacchetti riflessi avviene per onde sferiche, si ha
dove s è la superficie della semisfera di raggio r (modulo del vettore posizione di B) e di centro B: s=2&pi*r2. Segue
onde
Tale grandezza definisce la massima distanza, nel senso che un bersaglio B può essere intercettato solo se dista da O di r <= rmax. Se r > rmax riesce E2 < e^{-2µ}E1 per cui B non viene intercettato. Si noti che la massima distanza è una funzione esponenzialmente crescente della sensibilità dell'apparato. Ad rrmax corrisponde un tempo di percorrenza tra andata e ritorno, pari a
rammentando che vs è la velocità del suono. I singoli pacchetti d'onda dovranno quindi essere trasmessi a intervalli di tempo
affinchè sia possibile rivelare il pacchetto di ritorno, prima che venga trasmesso quello successivo. Ad esempio, se S=200cm² e µ=7.48:
per cui i singoli pacchetti possono essere trasmessi a intervalli di tempo dell'ordine di 1s.