Sia dato un cerchio completo di corda AB. Sia dato il punto M della corda. Attraverso M si traccino i segmenti CD e EF. Si completi il disegno ottenendo una "farfalla" rossa (fig. 1). Si dimostri che PM=MQ.
Soluzione
Dal punto M si tracci la perpendicolare alla corda AB. Dal punto D si tracci la parallela alla corda AB fino ad incontrare sul cerchio il punto H. Si sono così ottenuti due triangoli rettangoli MDN e MHN. Chiamiamo
Osserviamo che
Si ha
Ne consegue che il quadrilatero MQEH è inscrivibile in un cerchio (ciano). L'arco MQ misura l'angolo
quindi
Ma tale angolo corrisponde anche all'arco FC; quindi
Ne consegue che i triangoli MPD e MQH sono uguali e pertanto PM=MQ.
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