Forma covariante dell'equazione di Klein-Gordon

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Dal momento che l'equazione di Klein-Gordon è l'estensione relativistica dell'equazione di Schrödinger per una particella di spin 0, dobbiamo scriverla nella notazione quadridimensionale. A tale scopo, ricordiamo che il 4-impulso di una particella di massa m è definito dal seguente 4-vettore:

essendo p=(p¹,p²,p³) l'usuale 3-impulso, mentre E è l'energia

Eseguendo il prodotto scalare

Ciò premesso, dobbiamo scrivere l'equazione differenziale

in notazione 4-dimensionale. Qui abbiamo un tensore metrico

Rammentiamo l'operatore 4-gradiente:

dove g^µν è il tensore metrico inverso. Abbiamo

Ne segue

Incidentalmente, passando dalle singole grandezze fisiche ai rispettivi operatori hermitiani:

In definitiva, nella notazione 4-dimensionale l'equazione di Klein-Gordon si scrive:

che è manifestamente covariante.