Il seguente esercizio è inusuale, ma vale la pena eseguirlo perché riguarda l'equivalenza massa-energia. Si tratta di una deduzione elementare di Albert Einstein del 1946, tratta da Pensieri degli anni difficili.
Un corpo C è in quiete rispetto a un sistema di riferimento inerziale
K(Oxyz), mentre K'(O'x'y'z') è un sistema di riferimento inerziale che trasla uniformemente rispetto a K nella direzione dell'asse z negativo (v. fig.).
Su C vengono "sparati" due segnali elettromagnetici S ed S', ciascuno di energia E/2. Quindi abbiamo due onde piane monocromatiche, una progressiva e l'altra regressiva.
Assumendo che C sia un assorbitore ideale, si ha che la sua energia aumenta di E in seguito all'assorbimento di S,S'. Tuttavia rimane in quiete perché la quantità di moto totale ricevuta, è nulla.
Rispetto a K' il corpo C trasla uniformemente nella direzione positiva dell'asse z', con velocità v. I vettori di propagazione delle rispettive onde sono disposti come nella predetta figura.
L'angolo α può essere dedotto dalla legge di aberrazione della luce:
Si noti che stiamo tacitamente assumendo il principio di relatività ristretta secondo cui la velocità di propagazione c dei segnali è la stessa per entrambi gli osservatori inerziali. Per quanto precede, C rimane in quiete rispetto a K. Ne segue che rispetto a K' conserva la propria velocità prima e dopo l'assorbimento dei segnali. Applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto l sistema C+radiazione. Prima dell'assorbimento, la quantità di moto del predetto sistema è
La quantità di moto dopo l'assorbimento è
essendo m' la massa di C dopo l'assorbimento. Il predetto principio restituisce l'equazione vettoriale:
che può essere proiettata sull'asse z':
Dal momento che v < < c si ha sinα può essere rimpiazzato dal suo argomento i.e. α=v/c, onde
