Esercizio
Determinare le traiettorie ortogonali della seguente famiglia di curve piane:
Soluzione
Definizione
Assegnata una F famiglia di curve piane, le traiettorie ortogonali di F famiglia costituiscono una famiglia
di curve piane, ciascuna delle quali interseca ogni curva di F secondo un angolo retto.
Se la famiglia assegnata è generata da un'equazione differenziale
la famiglia delle traiettorie ortogonali è generata dall'equazione differenziale
Ciò premesso, dobbiamo prima ricavare l'equazione differenziale che genera la famiglia di ellissi
A tale scopo deriviamo primo e secondo membro rispetto a x:
che è un'equazione differenziale del tipo
essendo F(x,y,y')=x+2yy'. Per quanto precede, l'equazione differenziale che genera le traiettorie ortogonali alla famiglia di ellissi è
Cioè
ovvero a variabili separabili. Integrando
che è la famiglia richiesta. In fig. 1 alcune curve di entrambe le famiglie.
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