Assegnata l'equazione differenziale rappresentata in fig. 1, si determini un integrale particolare applicando il metodo di Lagrange
Soluzione
Dobbiamo innanzitutto trovare un sistema fondamentale di integrali dell'equazione omogenea
la cui equazione caratteristica
ammette una coppia di radici reali e distinte: λ1=0,λ2=2. Ne seguono gli integrali fondamentali:
Un integrale particolare della non omogenea è
con v1(x),v2(x) tali che
Il determinante della matrice dei coefficienti di tale sistema lineare è ovviamente il wronskiano dei predetti integrali fondamentali
Applichiamo la regola di Cramer
mentre l'altra incognita si ricava facilmente:
Non ci resta che eseguire una quadratura
L'integrale a secondo membro si calcola facilmente per parti:
da cui
Quindi
Passiamo all'altra funzione
Procedimento simile al precedente:
Perciò
Finalmente l'integrale particolare della non omogenea:
Ne concludiamo che l'integrale generale dell'equazione assegnata è
In fig. 1 l'andamento di alcune curve integrali della predetta equazione.
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