[¯|¯] Esercizio svolto sul limite di una funzione vettoriale

Come si calcola il limite di una funzione vettoriale? Semplicemente, ricercando i limiti (se esistono) delle funzioni componenti.
Esercizio
Assegnata nel piano cartesiano Oxy la rappresentazione parametrica

dove

calcolare


Soluzione
Qui siamo in R², per cui con ovvio significato dei simboli:

entrambe non definite in t=0, onde l'insieme di definizione della funzione vettoriale assegnata è X=R-{0}. Inoltre, come è ben noto










Ne concludiamo che il limite assegnato non esiste. Ovviamente nulla ci impedisce di ricostruire in software la curva piana assegnata. Incidentalmente, osserviamo che è possibile passare alla rappresentazione cartesiana, eliminando il parametro t tra le equazioni parametriche

ottenendo

cosicché la curva che stiamo studiando è il grafico della funzione

manifestamente definita in [-1,1]-{0}. Abbiamo quindi, un'oscillazione sinusoidale con argomento (arcsin x)^-1 modulata in ampiezza da ±arcsin(x), come mostrato in fig. 1.