[¯|¯] Una prova del moto della Terra intorno al Sole

Esercizio (Tratto da questo libro di esercizi di Fisica 1. La soluzione è nostra).
Si consideri la situazione di fig. 1. G è una giostra di raggio R che ruota con velocità angolare costante ω. P₁ e P₂ sono due oggetti distanti rispettivamente d₁ e d₂ dal centro O della giostra e allineati con esso. Si consideri l'angolo α sotto cui si vedono i predetti oggetti da un punto della perifieria di G e si studi come varia tale angolo il muoversi di G (si consideri d₁,d₂ > > R).

Soluzione
L'esercizio chiede di trovare l'espressione analitica della funzione α(t), dove t è il tempo. Dalla fig. 1 vediamo che

per cui dobbiamo esplicitare gli angoli a secondo membro. Dal triangolo rettangolo PP1H:

giacchè

Dall'altro triangolo rettangolo

Ancora

Seuge

che consentono le seguente approssimazioni:

Ne segue

Cioè α è un'oscillazione sinusoidale di pulsazione pari a quella di G e di ampiezza

Un'ulteriore approssimazione

Sia α_max^sper il massimo angolo misurabile, ovvero

a cui corrisponde il massimo valore di d1

In altre parole, per

l'oscillazione non è osservabile. Questo dispositivo può essere generalizzato allo scopo di dimostrare il moto di rivoluzione della Terra intorno al Sole. Ipotesi: l'osservatore è la Terra il cui predetto moto può essere approssimato a un moto circolare uniforme. La traiettoria circolare rappresenta manifestamente la giostra dello schema precedente, il cui raggio è il raggio dell'orbita terrestre:

Assumiamo com punto P2 una sella fissa e come punto P1 un'altra stella fissa a distanza d1 < < d2. A causa del moto di rivoluzione della Terra, la stella P1 avrà un moto apparente di oscillazione rispetto alla stella lontana P2:

Per quanto precede è

ovvero

Quindi la stella "vicina" deve trovarsi a una distanza non superiore a 3·10¹³km . La stella più vicina a noi è Proxima Centauri che dista d > 4 anni luce. Passando ai km vediamo che d > 3·10¹³km per cui la sua oscillazione non è osservabile.