Ipotizzando una distribuzione di zeri non banali della funzione zeta di Riemann, fuori della linea critica, si è costretti a decomporre la serie la cui somma H(x) determina le discontinuità della pi(x), in due serie differenti in quanto i termini n-esimi differiscono a seconda dell'appartenenza o meno di uno zero alla linea critica. Bisogna poi tener conto della simmetria degli zeri rispetto alla predetta linea critica. Vengono poi discussi i seguenti casi: 1) fuori della linea critica cade un numero finito di zeri; 2) fuori della linea critica cade una infinità numerabile di zeri.
Il caso 1 lascia un parametro libero (cioè il numero di zeri) e ciò a sua volta individua una successione di funzioni di distribuzioni di primi, inglobando il caso in cui tale parametro è nullo (ipotesi di Riemann vera). Il caso 2, invece, dà luogo a una seconda serie puntiformemente convergente, ma nulla si sa circa l'approssimazione delle discontinuità di pi(x). Il caso 1 diventa interessante in quanto il predetto parametro libero dovrà verificare alcune condizioni, in primisi il teorema dei numeri primi.