[¯|¯] Prodotto scalare di due 4-vettori. Invertibilità di un tensore. Tensore metrico e tensore metrico inverso

Comunque prendiamo i quadrivettori (o 4-vettori) A^µ e B_ν, possiamo costruire l'oggetto A^µB_ν che è manifestamente un tensore misto di rango 2. Infatti, eseguendo una trasformazione di coordinate, si ha:

onde

che prova quanto in precedenza asserito. Se saturiamo gli indici nel termine a primo membro:

cosicché

Ne consegue che

è invariante rispetto a una qualunque trasformazione di coordinate, i.e. è un 4-scalare. Definiamo tale oggetto prodotto scalare dei 4-vettori assegnati.

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