Per quanto visto nei in precedenza, una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato), è integrabile in X, se è possibile determinare univocamente
Abbiamo poi visto che ciò è sempre possibile per una funzione di segno costante. Divesamente, per una funzione di segno variabile, avevamo definito le funzioni non negative:
onde
Da quest'ultima relazione si ha
Ne consegue che se risulta
l'integrale a primo membro dell'equazione scritta più sopra, si presenta nella forma indeterminata oo-oo. Tale circostanza esprime la non integrabilità della funzione f nell'intervallo X. La predetta forma indeterminata può comunque dar luogo a un valore determinato (finito o infinito). Più precisamente, potrebbe essere possibile costruire una successione di intervalli
tale che
Tuttavia per una funzione non integrabile, tale limite non è univocamente determinata, nel senso che la sua esistenza e il suo valore dipendono dalla successione.
Ciò premesso, sussiste la seguente definizione:
Definizione
Sia f una funzione non integrabile in un intervallo X (limitato o illimitato). Se esiste una successione di intervalli {Tn}, tale che
diremo che f è integrabile in senso improprio, e il predetto integrale si dice integrale improprio relativo alla successione {Tn}. Nel caso particolare
diremo che il predetto integrale improprio risulta convergente sulla successione {Tn}
La definizione appena enunciata non è una definizione operativa, giacché l'esistenza del limite che definisce l'integrale improprio è garantita solo per una assegnata successione. Per un'altra successione, ci aspettiamo la non esistenza di tale limite, o l'esistenza di un valore differente. Nonostante la non operatività della predetta definizione, l'integrale improprio ha molte applicazioni, soprattutto in quei casi in cui occorre considerare il predetto limite per un'assegnata successione.
Segnaliamo, infine, che gli integrali impropri non sono molto maneggevoli relativamente ad alcune proprietà (decomposizione, etc.) degli integrali ordinari, e che si estondono agli integrali generalizzati.
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