Gli stati ghost dell'oscillatore armonico unidimensionale

---

Facciamo un riepilogo del post precedente in modo da giungere a delle conclusioni ben precise.

Consideriamo un sistema quantistico costituito da una particella di massa m vincolata sull'asse x sede di un campo conservativo di energia potenziale V(x), onde l'operatore hamiltoniano è

definito nello spazio di Hilbert L²(R). Consideriamo il caso particolare in cui lo spettro dell'operatore autoaggiunto scritto sopra, sia puramente discreto:

Per una nota proprietà dei sistemi quantistici unidimensionali, il predetto spettro è non degenere. Denotando con u_n(x) l'autofunzione dell'energia appartenente all'autovalore E_n, si ha - come è ben noto - che il sistema di autofunzioni {u_n(x)} è una base ortonormale di L²(R). Inoltre, risolvere lo spettro dell'hamiltoniano, significa integrare la seguente equazione differenziale ordinaria:

Si dimostra che per avere uno spettro puramente discreto, deve essere

Tale conclusione si comprende anche in termini di meccanica classica. Infatti, uno spettro puramente discreto implica che abbiamo solo stati legati, cioè stati quantistici in cui la particella è confinata in una regione di dimensioni finite, onde è nulla la probabilità di trovarla all'infinito. Precisamente, l'analogo classico del sistema che stiamo studiando, ha energia meccanica

essendo v il modulo della velocità della particella. La regione classicamente accessibile è

Cioè è l'insieme dei punti le cui ascisse risolvono la disequazione

per un assegnato valore dell'energia meccanica (valore univocamente determinato dalle condizioni iniziali). Ad esempio, per il potenziale

la regione classicamente accessibile è

Se vogliamo espandere tale regione, dobbiamo considerare valori maggiori dell'energia meccanica, ovvero

Tuttavia

essendo V0=infV(x). Più precisamente:

Tali risultati hanno un'immediata interpretazione fisica: se vogliamo portare la particella all'infinito, dobbiamo "somministrarle" una quantità infinita di energia. Per un qualunque valore finito dell'energia meccanica (ma comunque non inferiore all'estremo inferiore della funzione V(x)) la particella resterà confinata in una regione finita.
Chiusa questa parentesi classica, passiamo al problema della determinazione della funzione d'onda ψ(x,t) quale soluzione dell'equazione di Scrhödinger. Come visto nel numero precedente, anziché sbattersi con tale equazione, è preferibile espandere lo stato iniziale nelle autofunzioni dell'energia:

Ne consegue che ψ₀(x) può essere scelto ad arbitrio in L²(R), e il valore delle sue componenti nella base assegnata, verranno fissati anche da u_n(x) e, quindi, indirettamente dall'espressione del potenziale V(x). Assumiamo normalizzato a 1 tale stato iniziale:

Dall'interpretazione statistica della funzione d'onda, la probabilità che una misura dell'energia fornisca a t=t0 il valore E_k è

mentre

è tale che

è la probabilità infinitesima di trovare al tempo t0 la particella nel segmento infinitesimo [x,x+dx]. Abbiamo poi visto che l'evoluzione temporale conserva la norma e quindi, la normalizzazione degli elementi dello spazio di Hilbert assegnato, onde

mentre

è tale che

è la probabilità infinitesima di trovare a tutti i tempi la particella nel segmento infinitesimo [x,x+dx]. Esistono elementi ψ₀ di L²(R) che non si annullano all'infinito:

Precisamente:

Abbiamo, dunque, una probabilità non nulla di trovare la particella a x=±oo. Si noti che per dare un'interpretazione fisica a tali stati, non è possibile invocare l'effetto tunnel, giacché quest'ultimo si verifica per barriere di potenziale di altezza finita. Qui, invece, avendo un potenziale divergente (all'infinito) la particella avrà una probabilità nulla di attraversare la predetta barriera. Resta in tal modo giustificata la seguente suggestiva definizione:
Definizione
Chiamiamo stati ghost le soluzioni normalizzabili dell'equazione di Schrödinger che danno luogo a densità di probabilità che non si annullano all'infinito.

Il caso dell'oscillatore armonico

Per evitare problemi di arrotondamento nell'integrazione numerica, scriviamo l'hamiltoniano dell'oscillatore armonico unidimensionale, come

Come è noto, gli autovalori dell'energia sono

e le autofunzioni

dove H_{n}(x) sono i polinomi di Hermite. Supponiamo che lo stato iniziale sia una combinazione lineare dello stato fondamentale e dei primi due livelli eccitati:

Nella figura seguente

grafichiamo la densità di probabilità ρ₀(x)=|ψ₀(x)|², dove vediamo che la probabilità di trovare la particella all'infinito, si annulla rapidamente. Supponiamo ora che lo stato iniziale sia

dove N>0 è una costante di normalizzazione. Cioè

Lo sviluppo dello stato iniziale nelle autofunzioni dell'energia è

che possono essere calcolati solo numericamente. In ogni caso, soppravivono solo quelli di indice pari, in virtù della parità (+1) della funzione ψ₀(x). Tuttavia, siamo maggiormente interessati alla densità iniziale di probabilità

graficata in fig. 1 (top di questa pagina), da cui vediamo che non si annulla per |x|->+oo.

Sostienici

Puoi contribuire all’uscita di nuovi articoli ed e-books gratuiti che il nostro staff potrà mettere a disposizione per te e migliaia di altri lettori.