Per quanto stabilito nei numeri precedenti, una funzione generalmente continua in un intervallo X (limitato o illimitato), si dice integrabile se è possibile determinare univocamente l'ente denominato integrale generalizzato
che sia in grado di inglobare la definizione di integrale definito. Si noti che
Nel caso particolare
diremo che f è sommabile in X. Ne consegue che la sommabilità di una funzione è una condizione più forte dell'integrabilità. Il seguente teorema esprime una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di una funzione:
Teorema
Dim.
La condizione è sufficiente
Dopo aver introdotto le solite funzioni non negative
prendiamo ad arbitrio
Segue
Dalle formule scritte più sopra
Per ipotesi f(x) è sommabile in X, per cui tali saranno le fk(x):
Segue
Cioè
Segue
essendo
Ma
onde l'asserto.La sufficienza della condizione è lasciata per esercizio.
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