[¯|¯] Integrali curvilinei dal Flaccavento (lavoro di una forza)

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Esercizio n.7, pag. 78 del Flaccavento
Calcolare il lavoro svolto dal campo di forze

lungo la curva γ unione dei seguenti archi:

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Soluzione
Il lavoro meccanico svolto dalla forza F è

dove X,Y,Z sono le componenti cartesiane della forza. Verifichiamo innanzitutto se la forma differenziale che compare nell'integrando è un differenziale esatto. Abbiamo

per cui dobbiamo calcolare manualmente l'integrale. Siccome il cammino di integrazione è l'unione di un numero finito di archi regolari (fig. 1), procediamo per decomposizione

dove

Iniziamo con L₁

per cui

quindi

Cioè il primo percorso dà contributo nullo. Passiamo al secondo:

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Ciò implica

Passiamo al terzo:

ovvero un arco di parabola contenuto nel piano coordinato xy:

È facile verificare che L₄=0. Conclusione

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