[¯|¯] Il barcaiolo matematico e le equazioni differenziali (parte 1)

Esercizio
Una barca priva di propulsione parte da un punto della sponda di un fiume, diretta sulla sponda opposta (distante d) con velocità costante (v₀), come illustrato in figura:

dove è istituito un riferimento cartesiano ortogonale con l'origine nel punto di partenza della barca, e asse x coincidente con la sponda di partenza. Nel fiume è attiva una corrente che esercita una forza F sulla barca, rappresentata dalla seguente funzione vettoriale:

essendo i il versore dell'asse x. Si determini l'equazione della traiettoria della barca, nonché le coordinate cartesiane del punto Q in cui la barca raggiunge la sponda opposta e il tempo impiegato, nel caso di forza costante: F_x(y)=F₀.

Soluzione

Il riferimento cartesiano suggerito dal testo dell'esercizio è manifestamente un sistema di riferimento inerziale. La funzione vettoriale data dal testo dell'esercizio è definita nella striscia di piano individuata dalla regione:

Denotando con r=xi+yi il vettore posizione della barca, per il secondo principio della dinamica si ha:

essendo m la massa della barca. Tale equazione vettoriale è equivalente a

che è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine nelle funzioni incognite x(t),y(t). Le condizioni iniziali sono:

La seconda equazione differenziale del precedente sistema si integra immediatamente:

dove C1,C2 sono costanti di integrazione. Dalle condizioni iniziale segue

onde

Questo risultato è consistente perché il campo di forze ha componente nulla nella direzione dell'asse y, per cui il moto componente secondo tale direzione, avviene a velocità costante. Sostituendo la soluzione trovata nella prima equazione, si ha:

dove

Dal momento che

abbiamo

con K₁ costante di integrazione. Integrando nuovamente abbiamo l'integrale generale:

Applicando le condizioni iniziali, si ottiene:

da cui le equazioni orarie del moto:

Tali equazioni costituiscono una rappresentazione parametrica della traiettoria. Eliminando il parametro t, otteniamo:

che è l'equazione di un arco di parabola con vertice nell'origine e per asse l'asse x. Il punto di approdo è l'intersezione Q della parabola con la retta r:y=d, onde

Pertanto

come illustrato nella figura al top.

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